Оригинал взят у
bigstonedragon в О бесконечном. Математические основы диалектики1. Дуализм «дискретного» и «континуального». Парадокс «всюду плотного множества».
Как говорится, «чем дальше в лес, тем больше дров».
Парадоксы я стараюсь расположить в порядке нарастания степени их парадоксальности. И вот сейчас мы как раз подходим к тому из парадоксов, который меня в своё время поразил, пожалуй, больше всего.
Интуитивно понятно, что есть две принципиально разные вещи – процессы «дискретные» и «непрерывные». Грубо говоря, набор отдельных точек и непрерывная линия.
Интуитивно кажется, что дискретное множество – это такое, где вокруг любого элемента можно, грубо говоря, провести окружность, внутри которой ни одного другого элемента этого множества не найдётся. То есть, есть некое минимально возможное «расстояние» между элементами множества, ближе которого они друг к другу не приближаются. Дискретный набор точек в микроскоп всегда при некотором увеличении будет выглядеть именно как набор точек, а не непрерывная линия.
Наоборот, в непрерывном множестве, сколь малое расстояние не возьми, всегда найдётся элемент, который ближе к выбранной точке, чем данное расстояние. Грубо говоря, какое увеличение в микроскопе не возьми, такое множество всё равно будет оставаться «линией», и не превратится в «набор точек».
Однако тут, оказывается, всё не так просто!
Возьмём такой геометрический объект, как координатная ось. Если мы отметим на ней только натуральные числа, то получим как раз находящийся в полном соответствии с интуитивным представлением пример визуализации дискретного множества - набор отдельных точек, находящихся на равном расстоянии друг от друга (равном единице длины).
А что будет с визуализацией множества рациональных чисел (т.е. чисел, представимых в виде обыкновенной дроби), количество которых, как мы помним, равняется количеству натуральных чисел (т.е. рациональные числа можно перенумеровать)?
Так вот, несмотря на свою «счетность», рациональные числа заполняют координатную ось целиком, не оставляя никаких пробелов! Грубо говоря, какое бы огромное увеличение в «микроскопе» ни взять, визуализация множества рациональных чисел всё равно будет оставаться линией и не будет рассыпаться в набор отдельных точек.
И вот, получается, что на самом деле, количество «точек», составляющих дискретное множество и «непрерывную» линию – одинаково!!!
Насколько я помню, такое множество, совмещающее в себе черты и дискретного, и континуального, принято именовать «всюду плотным».
Помню, этот «дуализм» дискретного и непрерывного в своё время поразил меня больше всего из всего того странного и не укладывающегося в рамки «здравого смысла».
2. Линия, которая бесконечно длиннее самой себя.
Ну, и самое интересное, что геометрически и рациональные, и иррациональные числа можно представить как одну и ту же линию – ось координат; и то, и другое множество является «всюду плотным», и на графике будет выглядеть как одна и та же линия! Сколько ни увеличивай разрешающую способность «микроскопа», различий между линией, состоящей из рациональных чисел, и линией, состоящей из иррациональных чисел, увидеть не удастся: при любом «увеличении» это будет одна и та же непрерывная («всюду плотная») линия!
И тем не менее, «рациональная линия» бесконечно «короче» «иррациональной»!
3. Функция Дирихле как пример дуализма дискретного и континуального.
«Чем дальше, тем страньше» :-)
С понятием «дискретности» в математике тесно связано понятие «разрывности».
Если некое континуальное множество может быть разделено на несколько частей, т.е., грубо говоря, на самом деле имеет дискретную природу, то на этом множестве можно задать функцию, график (точнее, «визуализация») которой будет иметь разрывы в местах сопряжения отдельных частей.
Если при этом множество состоит из отдельных точек (т.е., визуализация может быть «рассыпана» на отдельные точки), то такая функция будет иметь разрыв в каждой точке этого множества.
Собственно говоря, так мы и поступили, когда перенумеровывали рациональные числа: в качестве первого шага мы задали на множестве рациональных чисел функцию, которая сопоставила каждому числу номер того «этажа» в числовой пирамиде, на котором это число находится:
Такая функция разрывна в каждой точке, визуально она «рассыпает» непрерывную линию рациональных чисел на множество отдельных точек, находящихся каждая на своём «этаже».
Казалось бы, раз множество иррациональных чисел мощнее множества рациональных (т.е., по сути своей множество рациональных чисел дискретно, а иррациональных чисел - континуально), то с иррациональными числами подобный «фокус» не пройдёт, и множество иррациональных чисел нельзя «рассыпать» на множество отдельных точек; однако ж, оказывается, с математической точки зрения это не совсем так!
Существует весьма тривиальная функция, с помощью которой множество иррациональных чисел с математической точки зрения точно так же «рассыпается» на множество отдельных точек. Эта функция именуется «функцией Дирихле» и формула её весьма проста:
То есть, говоря человеческим языком, 1 для рациональных чисел и 0 для иррациональных чисел.
Так вот, функция Дирихле, с математической точки зрения, разрывна в каждой точке!
То есть её график (точнее, её визуализация) должен выглядеть как набор отдельных, изолированных друг от друга точек.
И тем не менее, визуализация графика этой функции будет выглядеть как две отдельные непрерывные прямые! Одна – на уровне у=1, другая – на уровне у=0. И никакой, условно говоря, «микроскоп» не позволит нам обнаружить разрывы ни на одной из этих прямых, которые, тем не менее, разрывны в каждой точке!
4. Функция Римана (она же функция Томе).
И тем не менее, существуют принципиальные, качественные (как принято говорить в диалектике) различия между множествами рациональных и иррациональных чисел. Если для рациональных чисел, как мы убедились, можно задать такую функцию, которая даже визуально «рассыплет» это множество на совокупность отдельных, изолированных точек, то для множества иррациональных чисел это невозможно. Даже если некая функция, подобно функции Дирихле, разрывна в каждой точке множества иррациональных чисел, её визуализация всё равно будет выглядеть как непрерывная линия.
Более того, услужливая Википедия подсказывает, что существует такой экзотический объект, как «функция Римана» (она же «функция Томе»), которая разрывна в каждой точке множества рациональных чисел, но при этом непрерывна в каждой точке множества иррациональных чисел!
То бишь, говоря по человечески, функция Римана, как и функция Дирихле, равно 0 на множестве иррациональных чисел, но для рационального числа, представимого в виде дроби m/n, принимает значение не 1, а 1/n. Казалось бы, совсем незначительное изменение, но какие необычные последствия оно влечёт!
Визуализация этой функции выглядит примерно следующим образом (картинка из Википедии):
Не правда ли, очень похоже на Млечный Путь, точнее, на вид галактики «с ребра»?
При «первом приближении» график функции выглядит как размытая полоса, окруженная отдельными точками-«звёздами». При увеличении масштаба край полосы начинает «рассыпаться» на отдельные точки-«звёзды»; но сама полоса, пусть и сужается, но всё равно визуально остаётся непрерывной полосой. И чем больше будет «увеличение», более узкой будет казаться непрерывная полоса, тем больше её окрестностей рассыплется в отдельные точки, но сама полоса останется непрерывной – да она в данном случае и является таковой даже с математической точки зрения!
Очень важно при этом, что обратного примера – функции, которая была бы непрерывна на множестве рациональных чисел, но разрывна в каждой точке множества иррациональных чисел, - не существует.
Journal information