РАЗДУМЬЯ И НАБЛЮДЕНИЯ

В попытках объять необъятное...

Previous Entry Share Next Entry
Диалектический перепост: парадоксы бесконечности
bigstonedragon
И ещё из себя же, любимого, восьмилетней давности. Банально, но, похоже, достойно повторения :-)

Оригинал взят у bigstonedragon в О бесконечном. Математические основы диалектики

Большинство труднопостижимых загадок и «парадоксов» и в науке, и в философии связаны ИМХО именно с бесконечностью. Пока мы остаемся в рамках конечных, замкнутых систем – все просто, наглядно, понятно, но зато и пессимистично: «тепловая смерть», предсказуемость и предопределенность, механистичность и алгебраичность. Пока мы остаемся в рамках замкнутых систем, нет места «звездному небу» или «уроку гармонии», «свободе воли» и «обширному полю сознания».
Возможно, именно в способности аппелировать к бесконечности и заключается основное достижение человеческого разума [Вспомним Поршнева с его "способностью к абсурду", добавляю я от себя сегодняшнего!]?
А бесконечность полна парадоксов. Именно они, пожалуй, больше всего запомнились мне из всего курса математики в школе и универе.

sin_gular в обсуждении поста http://kosilova.livejournal.com/595991.html пишет: …И вот что я подумал - все таки вся человеческая математика основана на понятии натурального числа. На дискретности и анизотропности. Видимо так интуитивно работает мозг. Базовым математическим объектом для нас оказалось натуральное число.
Но ведь даже натуральный ряд (1, 2, 3, …) – это уже простейшая из возможных бесконечностей.
И она уже дает нам множество парадоксов.

1. Бесконечность + бесконечность = та же самая бесконечность.
Ну, вот первый из парадоксов. Возьмем не натуральные числа, а целые: то есть добавим к натуральному ряду ещё «0» и отрицательные числа. Казалось бы, общее количество чисел должно было увеличиться вдвое; но на самом деле, их осталось столько же! Потому как целые числа можно перенумеровать так же, как натуральные. Вот:
1 – 0
2 – 1
3 – -1
4 – 2
5 – -2
6 – 3
и т.д. То есть взяв любое целое число, мы однозначно сможем сопоставить ему натуральное, и наоборот. Целых чисел – столько же, сколько и натуральных!
И сколько ни прибавляй к бесконечности бесконечность, все равно в результате будет ТА ЖЕ САМАЯ бесконечность! Ну, не хочет она увеличиваться, и всё тут!

2. «Бесконечность» умножить на «бесконечность» = та же самая «бесконечность»!
Но этого мало. Возьмем теперь не целые числа, а рациональные – то есть всевозможные дроби, полученные путем деления одного целого числа на другое.
Казалось бы, их должно быть в бесконечное число раз больше, чем количество целых чисел. Ну, возьмем, к примеру, такое сопоставление:
1 – 1;
2 – ½;
3 – 1/3;
4 – ¼;
5 – 1/5;
и т.д.
Казалось бы, мы взяли лишь малую толику рациональных чисел – только между 0 и 1 и только такие, где в числителе стоит «1»; а их уже оказалось столько же, сколько всех целых чисел, вместе взятых! Значит, в общей сложности, рациональных чисел должно быть в бесконечное число раз больше, чем целых!
А вот получается, что на самом деле это вовсе не так. Потому что рациональные числа на самом деле тоже можно перенумеровать, точно так же, как и целые!
Вот, смотрите. Давайте выстроим такую вот перевёрнутую «числовую пирамиду»:
1-й этаж – 0;
2-й этаж – 1/1 (=1);
3-й этаж – ½ ; 2/1 (=2);
4-й этаж – 1/3 ; 3/1 (=3);
5-й этаж – ¼ ; 2/3 ; 3/2 ; 4/1 (=4);
и т.д.
Т.е. на каждом «этаже» пирамиды располагаются те дроби, в которых сумма числителя и знаменателя равна номеру «этажа» пирамиды!
Не буду приводить доказательств, но таким образом можно перенумеровать все рациональные числа – то есть даже перемножив «бесконечность» на саму себя, да ещё не один раз, мы в итоге получили ТУ ЖЕ САМУЮ бесконечность!

3. Бесконечность больше бесконечности.
Но даже и на этом парадоксы всё-таки не заканчиваются.
Казалось бы, всё, дальше ехать некуда, больше найденной нами «бесконечности» ничего уже быть не может.
А вот оказывается, вовсе и не так!
Потому как «рациональные» числа – это вовсе даже не все числа, какие есть в природе.
И, как оказывается, даже не большая их часть.
Потому как кроме «рациональных чисел», каждое из которых можно представить в виде дроби, в числителе и знаменателе которой – целые числа, существуют ещё числа «иррациональные», в виде простых дробей не представимые. Любое рациональное число можно записать в виде периодической десятичной дроби; иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби. Наиболее известным представителем таких чисел является число «пи» - отношение длины окружности к её диаметру.
Так вот, я не помню уже доказательств (прошу поверить мне на слово), но иррациональные числа перенумеровать принципиально невозможно – их количество оказывается БОЛЬШЕ, чем количество целых чисел! Математически первая из рассмотренных мною бесконечностей (набор целых чисел) принято именовать счетной, вторую (иррациональные числа) - несчетной.
Насколько я помню, для сравнения «бесконечностей» между собой используется понятие «мощности»; и насколько я помню, этих самых «мощностей» опять таки может быть бесконечное количество :-)


Posts from This Journal by “Диалектика” Tag


promo bigstonedragon january 5, 2014 03:46 30
Buy for 20 tokens
Ещё в сентябре yasnaya_luna «осалила» меня таким флэшмобом: рассказать 11 фактов о себе, ответить на 11 вопросов и задать другие 11 вопросов такому же количеству друзей. Труднее всего мне лично оказалось написать 11 фактов о себе. К тому же результат получился каким-то уж чересчур…

?

Log in

No account? Create an account